Un peu de calcul

Mardi 19 octobre 2010 2 19 /10 /Oct /2010 13:32

  Si nous savons aujourd'hui que le Soleil est une étoile, il n'en a pas toujours été ainsi. L'écart de luminosité est tel qu'il était, en effet, bien difficile à nos ancêtres  d'imaginer que les pointes de  lumière qui parsèment  le ciel nocturne n'étaient rien  d'autres que des soleils tout à fait  comparables au nôtre.

   La raison de cette différence ? Les distances extraordinaires, hors de toute échelle humaine, qui nous séparent des étoiles. Mais comment les appréhender et  les mesurer précisément ?

   De nos jours encore, calculer  les  distances, les dimensions, et plus généralement, se faire une idée des ordres de grandeur reste l'une des tâches principales des astronomes.

  Peut-on vraiment parler d'une galaxie sans d'abord faire référence à son immensité ?  Comment expliquer le fonctionnement d'une étoile sans évoquer sa masse gigantesque qui comprime la matière en son coeur jusqu'à lui permettre de fusionner ?

   C'est à ce petit jeu des mesures que je vous convie aujourd'hui, en vous proposant, par le calcul, de découvrir comment il est possible d'estimer  le diamètre de  Sirius, l'étoile la plus brillante du ciel.

   En montrant qu'une étoile et le Soleil sont de dimension comparable, on dispose d'un élément important pour  comprendre que ce sont des astres de même nature. Au dix-neuvième siècle, la spectroscopie en prouvant l'identité de leur composition est venue confirmer l'hypothèse.

    Ce calcul est, sinon plus difficile, du moins peut-être un peu plus long que ceux déjà publiés sur ce site. Il suppose un minimum de connaissances en astronomie.

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Voici les données dont nous disposons :

 

. magnitude visuelle apparente de Sirius  : mSir  :  -  1,43

. Magnitude visuelle absolue du Soleil      : MSol :  + 4,83

. Corrections bolométriques : Sirius : - 0,64  ,   Soleil : - 0,11

. Parallaxe de Sirius              : 0,371"  (secondes d'arc)

. Diamètre du Soleil : 1 392 000 kilomètres,  soit 1,392 x 109 mètres

. Estimation des températures de surface :

                                     pour le Soleil : TSol =  5 850 K

                                     pour Sirius     : TSir  =  9 230 K

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Principales étapes du calcul :

 

1 : Nous calculerons  la Magnitude absolue de Sirius. Elle sera déterminée à partir de la magnitude apparente (connue) et de la distance que nous estimerons via la parallaxe.

2 : Nous déterminerons le rapport de luminosité (éclat) des deux étoiles, (c'est à dire de combien Sirius est plus brillante que le Soleil).

3 : Puis, connaissant les températures de surfaces du Soleil et de Sirius, nous comparerons  le rayonnement par unité de surface de ces deux astres (nous verrons ainsi de combien, pour une surface donnée,  Sirius est plus brillante que le Soleil).

4 : Enfin, en comparant les magnitudes absolues des deux étoiles pondérées de leur luminosité surfacique nous déterminerons le rapport de surface des deux astres et par là leur rapport de taille et donc le diamètre absolu de Sirius(la taille du Soleil étant connue). Nous en déduirons aussi le diamètre apparent (angulaire) de Sirius.

5 : Nous comparerons ces résultats à des mesures faites au VLT afin de vérifier leur vraisemblance.

6 : Afin de  fixer les idées et les ordres de grandeur dans l'Univers, nous verrons ensuite à quelle distance il faudrait situer une pièce de un euro pour qu'elle apparaisse sous le même diamètre angulaire  que Sirius.

note :  Tous les logarithmes utilisés au cours de ces calculs sont  décimaux.

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Détermination de la Magnitude Absolue de Sirius.

 

a , calcul de la distance de Sirius

Rappel : Le (ou la) parallaxe d'une étoile est  la mesure angulaire de son déplacement apparent sur la voute céleste lorsque l'observateur (sur Terre en général) se déplace de une unité astronomique selon un axe perpendiculaire à la ligne de visée. Le rapport (1 / parallaxe (en secondes d'arc)) donne la distance de l'étoile en parsecs.  

Parallaxe de Sirius : 0,371"

Donc, distance de Sirius (en parsecs) = 1 / 0,371 = 2,695 Parsecs

Soit en mètres :  3,086 x 1016 m x 2,695 =  8,317 x 1016 m, c'est à dire un peu plus de 80 000 milliards de kilomètres ou environ 8,8 années lumière.

 

b, calcul de la Magnitude Absolue visuelle de Sirius (Msir)

Rappel : Le Module de distance  est la différence (m-M) entre les magnitudes apparentes et absolues. Par construction  il s'annule quand un astre est situé à 10 parsecs, à cette distance, les deux magnitudes sont égales.  (Pour plus d'informations sur ce point voir module de distance et magnitude).  

La formule liant  distance et module de distance est :

  m - M = 5 log  d - 5                              

En remplaçant M et d par leurs valeurs pour Sirius, nous obtenons :

       - 1,43  -  M  =   5 log 2,695  -  5  

En remplaçant log  2,695 par sa valeur : (0,431)

        - 1,43  -  M  =    5 x 0,431  - 5

        - 1,43  -  M  =    2,153 - 5

                    -  M  =    2,153 - 5 +1,43

                    -  M  =    2,153 - 3,570

                    -  M  =  - 1,417

                            M  =    1,417 soit, en arrondissant :

                       MSirius   =   1,42 

 

c, calcul des Magnitudes Absolues Bolométriques de Sirius et du Soleil

Rappel : La magnitude bolométrique (qu'elle soit absolue ou apparente) est la mesure de la lumière reçue d'une étoile en intégrant le rayonnement dans toutes les longueurs d'ondes. Ce rayonnement est donc plus fort que dans le seul domaine visible. Comme l'échelle des magnitudes est inversée, le passage de la magnitude visuelle à la magnitude bolométrique nécessite l'ajout d'une valeur négative appelée correction bolométrique (CB). Des tables donnent la valeur de cette correction qui diffère selon la température de l'étoile (et donc sa couleur dominante). Plus une étoile s'éloigne de l'astre de référence (Type stellaire F5 ayant une température de surface de 6 500 K et pour laquelle CB =0) ) plus la correction bolométrique est importante parce qu'une partie de son rayonnement se situe hors du domaine de mesure des magnitudes visibles. Ce manque peut se situer  vers l'infrarouge pour les étoiles froides ou vers l'ultraviolet pour les étoiles chaudes.

 

De façon générale :                 Mbol = M visuelle + BC

 

Comme les corrections bolométriques pour Sirius et pour le Soleil sont respectivement - 0,64 et - 0,11  nous obtenons :

 

                                             M bol Sirius = 1,42 - 0,64 = 0,78

                                             M bol Soleil = 4,83 - 0,11 = 4,72

 

2, Comparaison des luminosités des deux astres

Rappel : La relation entre les rapports d'éclat absolu ( E : mesure de la puissance du rayonnement de l'étoile) et la différence de Magnitude absolue ( M : mesure de cette puissance dans le système des magnitudes) de deux astres A et B est donnée par la formule dite de Pogson qui s'écrit : 

 

                                M (A) -  M (B)   =  - 2,5 log ( E(A) / E(B)  )

Rem : La formule serait identique si nous comparions éclat apparent et magnitude apparente. D'autre part,  nous utiliserons désormais pour la suite des calculs les Magnitudes absolues bolométriques déterminées plus haut sans systématiquement rappeler leur caractère bolométrique dans les notations). 

 

Ainsi dans notre cas :  (A est  identifié à Sirius et B au Soleil)

                   M (Sirius) -   M (Soleil)   =   - 2,5 log (E(Sirius) / E (Soleil) )

En remplaçant par les valeurs données ou trouvées ci-dessus :

          0,78 - 4,72    = - 2,5 log (E (Sirius) / E (Soleil) )

                   - 3,94    = - 2,5 log (E (Sirius)  / E (Soleil) )

           -3,94 / - 2,5   =  log   (E (Sirius)  / E (Soleil) )                                       

                     1,576   =  log  (E (Sirius)  / E (Soleil) )

En mettant 10 à la puissance des deux termes de l'équation :

                      101,576  = 10 log (E(Sirius) / E (Soleil)  )

En remplaçant 101,576 par sa valeur : 37,67

                       37,67    = 10 log (E(Sirius) / E (Soleil)  )

 Comme 10log a redonne a :   (a étant identifié à : E (Sirius) / E (Soleil) )

                       37,67 = Eclat de Sirius / Eclat du Soleil

 

Toute longueurs d'ondes confondues, Sirius est donc près de 38 fois plus lumineuse que le Soleil !

 

3, Comparaison  de la luminosité  surfacique de Sirius et du Soleil

Rappel :  la luminosité d'un corps est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température de surface (en K) ainsi qu' à sa surface (en mètres carrés). La relation entre rayonnement, température et surface est donnée par la formule dite de Stephan qui s'écrit : L =  s S T 4  )  L étant la luminosité (en watts) et s la constante de Stephan , nous n'avons pas besoin ici de cette formule mais pour voir un exemple d'utilisation, consulter l'article: De combien nous réchauffe l'Effet de Serre ? . 

 

T° Sirius  =  9 230 K,    T° Soleil  =  5 850 K

Le rapport des deux températures de surface est donc de  :

                         9 230 K / 5 850 K = 1,578

La luminosité étant proportionnelle à la puissance quatrième de la température,  pour une surface donnée, Sirius rayonne 1,5784 fois plus que le Soleil, soit :

                         1,5784 = 6,197

Remarque : A cause de cet élément en puissance 4, la précision du résultat est très fortement dépendante de la précision des mesures de température des deux étoiles. Un faible écart sur ce point peut donner un résultat sensiblement différent. Ces températures sont estimées par spectroscopie ( loi de Wien et plus fondamentalement de Plank)

 

4, Détermination du diamètre de Sirius. 

 

a, calcul du diamètre de Sirius

 

Sirius rayonne globalement 37,67 fois plus que le Soleil mais par unité de surface elle rayonne 6,19 fois plus (du fait de sa température plus élevée).

Sa surface est donc 37,67 / 6,19 fois plus grande que celle de notre Soleil.

                        37,67 / 6,19  =  6,09.

Comme une surface d'un corps est proportionnelle au carré de sa taille, cette taille elle-même est proportionnelle à la racine carrée de sa surface. 

Le diamètre de Sirius est donc égal à racine carrée de 6,09 (fois celui du Soleil)

                        6,091/2   =    2,47

Sirius est 2,5 fois plus grande que notre Soleil, celui-ci ayant un diamètre de 1 392 000 kilomètres, Le diamètre de Sirius est donc de :

                        1 392 000  x  2,47  =  3 438  240  kilomètres

Une telle précision est évidemment illusoire, retenons comme résultat de notre estimation :

 

Diamètre de Sirius : 3 400 000 kilomètres 

 

b, calcul du diamètre apparent de Sirius

Pour de petits angles, c'est le cas ici,  le diamètre angulaire d'un objet exprimé en radian est égal au ratio : Diamètre / Distance (de cet objet par rapport à l'observateur).

En remplaçant le diamètre et la distance par leurs valeurs,  respectivement 3,4 x109 m  et 8,317 x 1016 m, nous obtenons le diamètre angulaire de Sirius qui vaut donc : 

               3,4 x 109 m /  8,317 x 1016 m  =  4,088 x 10-8 radians. 

 

Un radian correspondant à 206 264,8 secondes d'arc (")

Le diamètre de apparent de Sirius dans le ciel est de :

               4,088 x 10-8  x  206 264,8"  =  0, 008 43 "

Il s'agit là d'un angle infime. Une seconde d'arc (notée ") correspond à un 3 600ème de degré et  donc 0,008 "  (moins de un centième de seconde) représente seulement un 450 000ème de degré, c'est à dire guère plus de deux millionièmes de degré !

 

5,  Comparaison avec les mesures effectuées au VLT

 

En 2001, une campagne de mesures a été menée au Very Large Telescope (VLT) en utilisant les techniques d'interférométrie. Compte tenu de la petitesse angulaire des étoiles vues depuis la Terre, très peu d'astres sont susceptibles de faire l'objet de telles mesures.

 

Pour Sirius on a trouvé un diamètre  de 0,009 29 secondes d'arc (+/- 0,000 17") soit en radians :  0,009 29 / 206 264,8   = 4,5 x 10-8 radians  

A partir de cette mesure nous pouvons déduire le diamètre effectif de Sirius  

En remplaçant la distance par sa valeur : (8,317x1016 m) dans l'équation :(diamètre / distance) = angle (si exprimé en radians), nous obtenons:

Diamètre (m) / 8,317 x 1016 (m) =  4,5  x 10-8

Diamètre de Sirius (m)  = 4,5 x 10-8 x 8,317 x 1016 m = 3,743 x 109 m

 

Diamètre de Sirius = 3,7 millions de kilomètres (Valeur arrondie)  

 

Cette valeur est assez proche de celle que nous avions calculée (3,4 millions de kilomètres), puisque l'écart est d'environ 10 %. Notre estimation était donc parfaitement vraisemblable.  Beaucoup de données en astronomie ne sont d'ailleurs pas connues avec une telle précision. Notre petit calcul permet donc déjà d'établir un ordre de grandeur tout à fait respectable.

 

6,  A quoi correspond un tel diamètre ?

 

Pour se faire une idée de ce que représentent ces ordres de grandeur, assimilons Sirius à un objet de la vie courante, une pièce de un euro par exemple.

A quelle distance faudrait-il placer une pièce de un euro pour qu'elle occupe dans le ciel un angle comparable à celui de Sirius ?  

Il suffit de résoudre l'équation égalisant les  ratios: diamètre / distance pour chacun des deux objets: c'est à dire trouver DP  (Distance de la Pièce, en mètres) dans l'équation suivante :

Diamètre de Sirius / Distance de Sirius = Diamètre de la Pièce / DP

 

Pour le diamètre de Sirius, retenons les données du VLT.

Diamètre de Sirius = 3,750 x 109 m

Distance de Sirius  = 8,317 x 1016 m

Diamètre d'une pièce de un euro  = 23,25 mm soit : 2,325 x 10-2 m

Distance de cette pièce = DP (l'inconnue recherchée)

          (3,750 x 109 / 8,317 x 1016 )  = 2,325 x10-2 / DP

          (3,750 x 109  / (8,317x 1016 x 2,325 x 10-2) ) = 1/DP

          (3,750 x109  / 1,933 x 1015)   =  1 / DP 

           1,933 x 1015 / 3,750 x 109    =  DP

           1,933 x 1015-9 / 3,750            =  DP

            0,515 x 106        =   DP

           5,150 x 105        =   DP

 

           Distance de la Pièce =  515 000 mètres soit 515 kilomètres.

 

Il faudrait donc placer une pièce de un euro à 515 kilomètres de l'observateur  pour qu'elle présente le même diamètre apparent que Sirius vue de la Terre (c'est approximativement la distance qui sépare Paris de Montélimar à vol d'oiseau). Pour que sa luminosité soit équivalente il faudrait également la chauffer à 9 230 K (ce qui ne serait pas facile, de plus, à une telle température, la pièce se trouverait gazéifiée !)

Ainsi, les étoiles, malgré leurs dimensions gigantesques, ne représentent que d'infimes îlots de matière perdus dans notre galaxie, la Voie Lactée. Sirius est pourtant parmi les plus proches.

 

Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Astronomie
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Mardi 4 mai 2010 2 04 /05 /Mai /2010 07:23

 

La notion de luminosité d’une étoile correspond à deux réalités bien distinctes :

 

La luminosité intrinsèque de l’étoile qui reflète sa puissance de rayonnement et s’exprime en watts (le Soleil fournit ainsi une puissance continue de 3,84 x 1026 watts, voir l’article " Puissant Soleil ").

  

La luminosité apparente de l’étoile, c’est à dire la quantité de lumière que l’on en reçoit. On appelle cette quantité : l’éclat. Elle dépend également de la puissance de l’étoile mais se trouve naturellement pondérée par la distance qui sépare l’astre de son observateur. Rappelons que la lumière reçue , comme tout rayonnement,  décroît selon le carré de la distance qui nous sépare de sa source.

La quantité de lumière reçue (l’éclat donc) s’exprime en watt par mètre carrés (w.m-2). Ainsi la luminosité apparente du Soleil (observé depuis la Terre et hors atmosphère) est de 1 366 w.m-2 (c’est la constante solaire) ; celle de Sirius (en apparence, la plus brillante des étoiles de la voûte céleste) est de 1,67 x 10-7 w.m-2.

 

Toutefois, si l’on utilise bien ces unités pour les calculs, on exprime généralement ces luminosités selon l’échelle des magnitudes :

 

Les Magnitudes Absolues (notées M) pour la luminosité intrinsèque.

Les magnitudes apparentes (notées m) pour l’éclat.

  

Magnitudes absolues, magnitudes apparentes et distances sont reliées par deux formules fréquemment utilisées en astronomie, la formule de Pogson et le module de distance.

 

 

 

Relation entre éclat et magnitude apparente :

La formule de Pogson

 

La relation est donnée par la formule dite de Pogson qui s'écrit : 

  

m1 - m2 = - 2,5 log E1/ E2

 

  m1 est la magnitude de l’étoile 1.

  m2 est la magnitude de l’étoile 2.

  E1 est l’ éclat de l’étoile 1 (exprimé en w.m-2 ou en unités arbitraires).

  E2 est l’ éclat de l’étoile 2 (                       id                                           ).

  Les logarithmes utilisés sont ici les logarithmes décimaux.

 

Cette formule permet de déterminer la magnitude apparente des astres par comparaison. En effet, il n’est pas facile de mesurer celle-ci directement puisque les conditions d’observation ne sont jamais strictement identiques. Qualité du ciel, diamètre et caractéristiques du télescope et des différents récepteurs, hauteur de l’astre sur l’horizon, temps de pause… tout est susceptible de varier d’une observation à l’autre.

 

Pour déterminer cette magnitude, il faut donc mesurer, c’est à dire comparer dans les mêmes conditions le flux lumineux (ce que l'on appelle l’éclat) provenant d’un astre de magnitude connue avec celui de l’étoile dont on cherche à déterminer la magnitude. Les récepteurs numériques (CCD) permettent aujourd’hui une mesure précise de ces flux.

Cette mesure de la magnitude apparente est généralement un préalable à la mesure de la distance (ou de la Magnitude Absolue) qui s’opère en utilisant la seconde formule.

 

 

Relation entre Magnitude Absolue et magnitude apparente :

Le module de distance

 

La relation entre magnitude apparente et Magnitude Absolue est dictée par la distance de l’astre étudiée et exprimée dans la formule dite du module de distance qui s’écrit :

m - M = 5 log d - 5

 

  m est la magnitude apparente.

  M est la Magnitude Absolue.

  d  est la distance exprimée en parsecs (1).

  Les logarithmes utilisés sont les logarithmes décimaux.

 

Cette formule est l’une des plus courantes en astronomie où la question des distances est déterminante. Comprenant trois variables, m, M et d, il suffit de connaître deux d’entre elles pour déterminer la troisième (en général m, la magnitude apparente est connue car mesurable (voir ci-dessus).

 

Ainsi, il est possible de :

  • déterminer la distance (d) d’un astre si l’on connaît sa magnitude apparente (m) et sa Magnitude Absolue (M) ou de :
  • déterminer la Magnitude Absolue (M) c’est à dire la puissance d’un astre si l’on connaît simultanément sa distance (d) et sa magnitude apparente (m).

La magnitude apparente (m) et la Magnitude Absolue (M) sont égales pour un même astre si celui-ci se trouve situé à 10 parsecs de son observateur (2)

 

Exercice d’illustration.

 

Une étoile connue (A) présente une magnitude apparente de + 1,7 et nous envoie un flux de lumière (éclat) de 290 (unités arbitraires). Quelle est la magnitude apparente d’une étoile B qui présente un flux de lumière de 140 (même unités arbitraires et dans les mêmes conditions d’observation) ?

 

L’application de la formule de Pogson nous donne :

 

   m(A) – m (B) = - 2,5 log (éclat A / éclat B)

   m(A) – m (B) = - 2,5 log (290/140)

   + 1,7 – m (B) = - 2,5 log (2,07) = - 2,5 x 0,316 = - 0,791

   - m (B)   =  - 0791 - 1,7 = - 2, 491

   m(B)      =  2, 491 soit en arrondissant :

 

   m (B)   =  2,5

 

Supposons maintenant que pour une raison quelconque (son type spectral, son rythme de variation…) nous sachions que cette étoile B possède une Magnitude Absolue M (B) de 1,4.

 

Nous pouvons alors déterminer sa distance en utilisant la seconde formule

 

   m(B) – M(B) = 5 log d – 5

   2,5 – (1,4) = 5 log d – 5

   2,5 – 1,4 + 5 = 6,1 = 5 log d

   6,1 / 5 = 1,22 = log d

   En mettant 10 à la puissance des deux termes de l’équation :

   101,22 = 10log d = d

   d = 16,596 soit, en arrondissant :

 

  d = 16,6  parsecs

 

   soit environ 54 années lumières ou 5.1014 km  

 

Notes :

 

1, Le parsec est une unité de distance astronomique.

 

Elle est égale à la distance à laquelle l’Unité Astronomique (UA ou AU en anglais) c’est à dire le rayon moyen de l'orbite terrestre (149,6 millions de km) est vue sous un angle de une seconde d’arc. Un parsec,  (abréviation de parallaxe et de seconde) vaut 3,086 x 1016 mètres, soit environ 3,26 Années lumière.

 

Pour exprimer les distances d’étoiles lointaines ou d’amas d’étoiles au sein de notre propre galaxie on utilise parfois le kiloparsecs (1 000 parsecs, soit 3,086 x 1019 m) et pour les travaux en cosmologie le mégaparsecs (un million de parsecs, soit 3,086 x 1022 m).

 

La constante de Hubble qui lie la vitesse d’expansion de l’Univers à la distance qui sépare deux astres est ainsi exprimée en kilomètres par seconde et par mégaparsecs  (km.s-1. mpc-1). Selon les dernières mesures, elle serait approximativement de 75 km.s-1. mpc-1.

 

2, Cette égalité est contenue dans la formule puisque :

    si d = 10 alors :  m - M = 5 log 10 – 5

    comme log 10 = 1 : m - M = 5 x 1 – 5 = 0

    donc m = M

 

Remarque :

 

Nous supposons réglées dans l’ensemble de cet article les questions relevant des mesures, du choix de la bande de longueur d'onde et de la valeur de la correction bolométrique. Les magnitudes absolues comme les magnitudes apparentes ici évoquées sont donc bolométriques, c'est à dire que l'on a intégré le rayonnement émis par l'étoile dans toutes les longueurs d'ondes. Cela évite de sous estimer le rayonnement des étoiles très chaudes ou très froides qui émettent une partie importante de leur énergie dans des longueurs d'ondes éloignées de la bande de référence, respectivement vers l'ultra violet (pour les plus chaudes) ou vers l’infrarouge pour les plus froides.

 

Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Astronomie
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Samedi 9 mai 2009 6 09 /05 /Mai /2009 13:18

  (J'inaugure ici un ensemble d'articles consacrés aux formules en astronomie, vous les retrouvez également en pages fixes dans la zone formules, à gauche de l'écran.)  

  Cette formule dite du module de distance permet de calculer la distance des astres en comparant leur luminosité apparente à leur luminosité intrinsèque (qu'on suppose donc déja connue par un moyen quelconque). 
   Il s'agit d'une  des formules les plus utilisées en astronomie où bien entendu, la détermination des distances constitue la base de beaucoup de travaux. Parfois les astronomes plutôt que de parler de distance évoquent  même simplement le module de distance, c'est à dire la quantité m - M dans la formule ci dessous.


Si m est la magnitude apparente
Si M est la magnitude Absolue
Alors d est la distance exprimée en parsecs


L'ensemble de ces trois valeurs sont en effet reliées par la relation suivante :


                   m  -   M  =  5 log d - 5




Exemple de calcul:
 
. une étoile a une Magnitude Absolue Bolométrique (M) égale à 1,5

. elle a une magnitude apparente bolométrique (m) égale à 2,7

 son module de distance (m - M) est donc égal à   2,7 - 1,5 =
1,2

 Sa distance  d peut être déterminée comme suit en appliquant la formule :


   1,2  =  5 log d - 5 
 
   1,2 +  5  =  5 log d

   6,2  =  5 log d

   6,2  / 5  =  log d

  1,24  =  log d  soit en mettant en puissance dix les deux termes de  l'équation :

  101,24  = 10log d = d     et en remplaçant  101,24  par sa valeur  (17,3)


                                                       d = 17 ,3

 L'étoile se situe donc à 17,3  parsecs soit  approximativement à 56 années lumière.

(Nous supposons réglés dans ce calcul les questions relevant des  mesures, du choix de la bande de longueur d'onde  et de la valeur de la correction bolométrique).





Rappels:

 . Les logarithmes retenus sont ici les logarithmes décimaux.

.  Les magnitudes absolue et apparente sont ici bolométriques, c'est à dire que l'on a intégré le rayonnement émis par l'étoile dans toutes les longueurs d'ondes.  Cela  évite de sous estimer le rayonnement  des étoiles très  chaudes ou très  froides qui émettent  une partie importante de leur énergie  dans des longueurs d'ondes éloignées de la bande de référence, respectivement vers l'ultra violet ou l'infra rouge.

. Un parsec est une unité de distance égale à la distance à laquelle l'Unité Astronomique (UA) est vue sous un angle de une seconde d'arc. Elle représente 3,26 Années lumière soit un peu plus de 30 000 milliards de kilomètres.



Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Astronomie
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Mardi 13 janvier 2009 2 13 /01 /Jan /2009 10:55

 

    Presque inconnu il y a encore dix ou vingt ans, l’effet de serre, est devenu le héros des temps modernes… mais aussi le diable en personne.

   Lutter ou seulement prétendre lutter contre lui  est devenu gage de respectabilité. Mais qui est donc cet adversaire et quel est son étrange pouvoir ?

    Au premier abord et si l’on en croit les grands média, l’effet de serre est ce  qui, au moyen du CO2, va bouleverser le climat, occire les ours blancs, assécher nos rivières, transformer nos vertes forêts en Sahara et faire de notre belle planète une seconde Vénus.

  Pourtant, si l’on va un peu plus loin, l’effet de serre est au contraire ce mécanisme merveilleux qui adoucit les températures et qui, en maintenant durablement l’eau sous sa forme liquide, permet à la vie d’exister.

   Si enfin, on pousse encore la curiosité, on découvre alors un phénomène complexe, essentiel à l’équilibre du climat (note 1) et auquel on peut attribuer un réchauffement d’une bonne trentaine de degrés. On découvre également que le CO2 n’est pas le seul GES (Gaz à Effet de Serre). Il n’est même pas le principal puisque la bien inoffensive vapeur d’eau lui dame le pion (notes 2, 3 et 4).

   Nous ne reviendrons ni sur la description des principes généraux, ils sont déjà largement médiatisés ni non plus les détails, car il s’agit cette fois d’une affaire extrêmement compliquée. Déterminer pourquoi une molécule plutôt qu’une autre entre en résonance sous l’action d’un rayonnement de telle ou telle longueur d’onde relève d’un cours de physique de haut niveau. Sachez simplement que par cette interaction, les molécules absorbent l’énergie du rayonnement et en bloquent la progression

    Je vous propose  seulement de  déterminer l’ampleur de ce réchauffement et de comprendre pourquoi on parle  d’une trentaine de degrés ?

    Voici les principes et les données nécessaires à notre calcul : 

-   La Terre est en équilibre thermique.

C’est à dire que sur une période courte (quelques jours par exemple) elle ne se refroidit ni ne se réchauffe (même le célèbre réchauffement climatique est absolument négligeable à ces échelles de temps). Or, comme notre planète n’est en contact matériel avec rien, elle ne peut se réchauffer ou se refroidir par conduction ou par convexion et n’a d’autre solution pour modifier sa température que d’échanger du rayonnement avec l’extérieur.
Donc, si elle est en équilibre thermique cela équivaut à affirmer que le rayonnement qu’elle reçoit de l’espace (du soleil en l’occurrence) est strictement égal au rayonnement qu’elle émet vers les cieux. Cette égalité constituera la cheville ouvrière de notre raisonnement.


Nous considérerons la Terre comme un Corps noir

Il s’agit là d’une forte  approximation et en réalité c’est loin d'être le cas, mais nous pouvons la tenir pour vraie si nous prenons soin, lors de nos calculs de prendre en compte l' albédo et de soustraire au rayonnement reçu la part directement renvoyée par réflexion (proportion évaluée à 30 % de l’énergie incidente).
Rappelons à cette occasion qu’un corps noir est un corps qui ne reflète aucun rayonnement (c’est pour cela qu’il est noir). Ainsi la lumière (c’est à dire, le rayonnement) que nous en recevons ne dépend que de sa seule température (sa composition qui influencerait le reflet n’intervient pas puisque justement, il n’y a aucun reflet).

Il existe un lien donné par la formule dite de Stephan entre la température d’un corps noir et le rayonnement émis.

Ce lien s'écrit :

 

L =  s s T 4  

L Etant la puissance (Luminosité) exprimée en watts (w).

T Etant la Température exprimée en degrés Kelvin (K).

S Etant la surface du corps exprimée en mètres carrés.
 Ici S sera égal à 1 car nous ferons le calcul pour un mètre carré (m2) ce qui simplifiera la question sans rien changer quant au fond.
s  : la constante de Stephan  vaut : 5,67 x 10–8 w m2 K-4.

 

 

Voici la démarche. 

  • A partir de la constante solaire (voir l’article Puissant Soleil) nous déterminerons la quantité de rayonnement reçu par chaque mètre carré de la Terre.  
  • De l’égalité entre rayonnement émis et rayonnement reçu nous déduirons la quantité de rayonnement émis. 
     
  • Par la constante de Stephan nous déterminerons la température que devrait avoir la Terre considérée en équilibre thermique compte tenu de l’énergie qu’elle émet.
  • L’effet de serre sera considéré comme l’excès de température entre la valeur théorique calculée précédemment et la valeur effectivement constatée (environ 15 C° soit 298 K).

 

Détermination du Rayonnement reçu par la Terre.

 

Au niveau de l’orbite terrestre (à environ 150 millions de km de notre étoile donc), chaque mètre carré placé perpendiculairement au Soleil reçoit un rayonnement d’une puissance de 1368 w, c’est la constante solaire.

Chacun des mètres carrés de la surface terrestre ne reçoit cependant (hors effets atmosphériques) que le quart de ce rayonnement. En Effet la Terre n’intercepte les rayons solaires que sur une surface égale à un disque de même diamètre qu’elle. Or la surface d’un disque (formule : Pi R2) est égale au quart de la surface d'une sphère de même taille (formule : 4 Pi R2).

Cela s’explique simplement.

. D’une part une moitié de la sphère est dans l’ombre car il fait nuit 50 % du temps et il faut donc diviser une première fois par deux le rayonnement reçu.

. D’autre part, la demi-sphère faisant face au Soleil étant bombée, sa surface est deux fois plus importante que celle du disque correspondant. Cela divise encore par deux le rayonnement reçu par unité de surface.

Cette double division par deux justifie la division du rayonnement reçu par un facteur 4.

Hors atmosphère, la surface de la Terre serait donc, toutes longueurs d’ondes confondues, soumise à un rayonnement de 1368 w / 4  soit : 342 watts.

Cependant l’atmosphère et en particulier les nuages interceptent une bonne partie de ce rayonnement et le renvoie dans l’espace. La surface elle-même du sol est partiellement réfléchissante.

C’est ce qu’on appelle l’albédo. Pour la Terre il est estimé à 30 %. Le rayonnement effectivement reçu par la surface terrestre (et gardé pour son propre réchauffement) est donc égal à 70 % de 342 watts soit 342 watts x 0,7 = 239 watts.

 

 

Détermination du rayonnement émis par la Terre

 

Par l’égalité entre rayonnement reçu et rayonnement émis la Terre émet un rayonnement d’une puissance de 239 w.m2

 

Détermination de la température théorique de la Terre.

 

Il s’agit de déterminer la température théorique d’un corps qui émet 239 watts par mètre carré.

 

Appliquons la formule de Stephan :   L = s s T 4

          Remplaçons :
          L par sa valeur : 239 w.m2,
          La surface S par 1 pour un  calcul sur 1 m2     
          La constante de Stephan  par : 5,67 x 10-8 m2 K-4 


          Nous obtenons :

 

                239 w m2 =   5,67 x 10–8 w m2 K-4 x 1 x T(K) 4

           On, voit que seule la température (T) reste non définie, c’est l’inconnue qu’il faut trouver en résolvant cette équation.

 

                    T 4 = 239 w m2 / 5,67 x 10-8 w m2 K-4

 

            En simplifiant les unités , c'est à dire en supprimant w et m2  en même temps au numérateur et au dénominateur.

 

                      T4 = 239 / 5.67 x 10–8 K-4

 

           T4 = 239 x 1,76 x 107 K4

 

           T4 = 4,22 x 109 K4

  Soit en prenant la racine quatrième de ce  nombre :

 

           T = 255 K soit  – 18 C° (5)

  
 

Détermination de l’impact de l’effet de Serre

 

La température moyenne de la planète est aujourd'hui évaluée à 15 C° soit à 298 K.

Le surplus par rapport à la température calculée ci dessus est donc de :

                        298 K – 255 K = 33 degrés

Compte tenu des simplifications retenues dans ce calcul nous arrondirons à  un peu plus de 30 degrés ".

Ce gain est donc extrêmement sensible et change complètement les conditions de la vie terrestre. Il reste toutefois bien modeste par rapport à ce qu’on observe sur Vénus où l’excès de température est évaluée à environ 480 degrés. La température de surface de vénus est d’environ 460 C° pour un équilibre à – 20 C° sans ce mécanisme. L’atmosphère de Vénus particulièrement dense et constituée presque exclusivement de CO2 explique l’ampleur du phénomène. Il est également remarquable que sur cette planète la température d’équilibre (-20 C°) est proche de celle de la Terre alors que Vénus est plus près du Soleil et reçoit deux fois plus de lumière par unité de surface. Il se trouve que les nuages très épais bloquent le rayonnement qui ne peut ainsi atteindre le sol.

 

 

 

Remarques


Ce petit calcul à juste une vocation pédagogique. Il vise à donner l’ordre de grandeur du réchauffement dû à l’effet de serre ainsi qu’à se faire une idée de la méthode. Si le résultat est tout à fait conforme à ce qu’admettent aujourd’hui les scientifiques, il convient de souligner les quelques simplifications dont nous nous sommes ici accommodés.


  • L’albédo est évalué à 30 % C’est là une valeur imprécise. De plus il n’est pas identique pour toutes les longueurs d’ondes alors que nous l’avons supposé tel dans le calcul.

  • Nous n'avons pas ici évoqué les interactions entre le sol et l'atmosphère ni entre les océans et l'atmosphère. Il aurait fallu prendre en compte les très complexes mécanismes de chauffage de celle-ci par les sols et ainsi  que par la condensation des eaux océaniques évaporées. Toutefois, cela ne modifierait pas les  résulats. En effet vis à vis de l'espace, sol, océans et atmosphère constituent bien un tout qui n'échange de l'énergie que via le rayonnement.

 

 

D’autres explications.

 

Vous trouverez d’intéressantes explications sur l’effet de serres parmi les sites suivants

 -   
Manicore de Monsieur  Jean-Marc Jancovici.
 -   
Sagascience
(dossiers du net) avec un article de Madame
     Marie-Antoinette Mélières.
 -   
Wikipédia (Effet de Serre)

 

Notes

 

  (1)  On dit parfois que toute la physique du monde est contenue dans le simple craquement d’une allumette. Chacun a pu vérifier cette assertion en constatant que les questions d’enfants génèrent toute une ribambelle de " pourquoi " en forme de poupées russes et que l’art d’un parent consiste à savoir y mettre un terme de la façon la plus habile et la moins voyante.
 
(2)   La vapeur d’eau représente un peu moins de 1 % de la masse de l’atmosphère. C’est en terme de quantité et, d’effet global, le plus important des gaz à effet de serre. Toutefois sa proportion est variable selon les lieux et le temps. D’autre part, les effets des modifications introduites par l’homme sur la quantité de vapeur d’eau présente dans l’atmosphère ne font pas encore l’unanimité. Le fait que ce gaz nous apparaît très naturel et très inoffensif explique peut-être que l’on en parle si peu.
(3)   Les molécules ayant, compte tenu des quantités présentes dans l’atmosphère terrestre le plus grand effet de blocage des rayonnements infrarouges émis par la Terre et tentant de retourner dans l’espace sont par ordre d’importance : La vapeur d’eau : H2O, le gaz carbonique ou dioxyde de carbone : CO2 et le méthane : CH4.

 
(4)   Il est extrêmement difficile de dire pour une quantité donnée dans quelle proportion exacte un corps est un gaz à effet de serre plus efficace qu’un autre. En effet si à un instant donné la chose est claire, le méthane est plus puissant que le gaz carbonique qui l’est lui-même plus que la vapeur d’eau, ces différents composants n’ont pas la même persistance dans l’atmosphère. Ainsi, une molécule de méthane reste en moyenne 10 ans avant de se transformer en gaz carbonique et les molécules de ce dernier persistent  en moyenne un peu plus de 100 ans. Aussi déterminer l’impact exact de chacun de ces composants dépend du terme auquel on raisonne, et ne se peut se réduire à une réponse unique. Sur l'efficacité des différents gaz à effet de serrre, consultez l'article du site manicore. 
 
(5)  La différence entre les degrés Kelvin (K) et les degrés Centigrades (C°) réside seulement dans le point d’origine :
- le zéro absolu pour les degrés Kelvin  situé à - 273,15
- le point de congélation de l'eau pour les degrés Centigrades situé à + 273, 15 K.
On passe donc de la première échelle à la seconde en soustrayant ces 273,15 degrés. Au niveau du zéro absolu (0 K donc) il n’y plus de mouvement dans la matière, tout est figé.

 

 

Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Astronomie
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Lundi 1 décembre 2008 1 01 /12 /Déc /2008 13:59

 

 

Nous avons vu dans un article précédent que la combustion du charbon ne pouvait être à l’origine de l’énergie solaire. La masse entière du soleil ne lui autoriserait pas plus de 5 000 ans d’existence.

Une autre hypothèse a été envisagée pour expliquer le formidable rayonnement de notre étoile : la contraction gravitationnelle. Si cette éventualité a été balayée par la découverte de la fusion nucléaire dans les années 1930, ce n’était pas pour autant une idée farfelue.

 

De quoi s’agissait-il  ?

 

Lorsque deux corps sont séparés dans l’espace (même si ce sont deux atomes appartenant à un même ensemble comme un astre), la gravitation tend à les rapprocher. Il y a là ce qu’on appelle une source d’énergie potentielle ou gravitationnelle. Donc, si un astre tend à rétrécir, à se concentrer, c’est à dire à rapprocher ses constituants de son centre de gravité il diminue son énergie potentielle. Mais, bien sûr, cette énergie ne se perd pas elle se transforme en chaleur et cette chaleur est à l’origine d’un rayonnement.

Il est parfois possible de récupérer cette énergie en entravant ce mouvement. Sur Terre, le mode de récupération le plus célèbre est l’hydroélectricité. On emprunte de l’énergie au mouvement de l’eau qui, obéissant à la gravitation, tend à se rapprocher du centre de la Terre pour la transformer en rotation d’une turbine et enfin en électricité. Notons qu’il ne s’agit là, in fine, que de récupérer de l’énergie solaire puisque c’est le rayonnement du Soleil qui a préalablement fait monter cette eau en altitude par évaporation des océans.

 

Ce mécanisme est à l’œuvre dans les étoiles en formation.

La contraction du gaz (via la gravitation) chauffe l’astre et avant même que le cœur n’atteignent les températures nécessaires à la mise en route des réactions nucléaires (environ 10 millions de degrés) elle permet à la jeune étoile d’atteindre en surface les 3000, 5000, 6000 K ou plus qui sont largement suffisants pour la faire briller.

Rappelons que c'est la température de surface multipliée par la taille de cette surface qui détermine la puissance de l’étoile c’est à dire son rayonnement (quantité et longueur d’onde) et cela, quelle que soit l’origine de cette température. Elle n’a en soi nul besoin d’être nucléaire.

 


L’énergie gravitationnelle (notée Eg) c’est à dire l’énergie susceptible d’être émise par un corps sphérique de rayon R jusqu’à (et du fait de) son effondrement en un point est donné par la formule :

 

Eg = 3GM2/ 5R   (en joules c’est à dire en kg m2 s-2)

G est la constante de gravitation et vaut 6,67 x 10-11 m3 kg-1s-2

R est le rayon de la sphère en mètres : 7 x 108 mètres pour le Soleil

M est la masse en kilogrammes 2 x 1030 kilogrammes pour le Soleil

 

En l’appliquant au Soleil, nous obtenons :

 

Eg (Soleil) = ( 3 x 6,67 x 10–11 kg-1 m3 s-2) x ( 2 x 1030 kg)2 / ( 5 x 7 x 108 m)

Eg (Soleil) = ( 2 x 10-10 kg-1m3 s-2) x ( 4 x 1060 kg2 ) / ( 3,5 x 109 m )

Eg (Soleil) = ( 8 x 1050 kg-1 kg2 m3 s-2) / ( 3,5 x 109 m)

Eg (Soleil) = ( 2,29 x 1050 x 10–9 kg–1 kg2 m3 m-1s-2)

Eg (Soleil) = 2,29 x 10 41 kg m2 s-2 c’est à dire :

 

Eg (du Soleil) = 2,29 x 1041 joules

 

Ceci constitue donc la réserve d’énergie gravitationnelle de notre étoile.

 

Combien de temps le Soleil pourrait-il briller à son niveau actuel de rayonnement en consommant cette réserve ?

 

La puissance du Soleil est de 3,84 x 1026 watts (voir l’article " Puissant Soleil "). Cela signifie que chaque seconde, notre étoile émet une énergie de 3,84 x 1026 joules (par la définition même du joule qui correspond à l’énergie produite par une puissance de un watt appliquée pendant une seconde : 1 joule = 1 watt.seconde).

 

La durée de vie du Soleil (en secondes) est donc égale au ratio de sa réserve en joules (c’est à dire en watt.seconde) par sa consommation de joules par seconde (c’est à dire sa puissance en watts) soit :

 

2,29 x 1041 watts.sec / 3,84 x 1026 watts = 5,96 x 1014 secondes

 

Une année comportant environ 3,16 x 107 secondes (note1), cela représente :

 

(5,96 x 1014 sec) /( 3,16 x 107 sec.ans-1) = 1,89 x 107 années

 

Soit un peu moins de 20 millions d’années.

 

Tout comme le charbon donc, la gravitation se révèle incapable d’expliquer la durée de vie du Soleil (estimée à 10 milliards d’années dont la moitié environ se trouve déjà derrière nous).

 

Cette source d’énergie est quand même potentiellement beaucoup plus importante que le charbon. 20 millions d’années représentent 4 000 fois les 5 000 ans évoqués dans l’article précédent.

 

Toutefois, de même que les 5 000 ans trouvés pour le charbon étaient surestimés parce que le Soleil ne pouvait être uniquement constitué de charbon (il lui faudrait aussi de l’oxygène pour assurer la combustion), l’écroulement gravitationnel du soleil ne peut être envisagé jusqu’à réduire l’étoile en un point. Elle se transformerait en trou noir. Rien n’indique non plus que le dégagement d’énergie aurait, dans ce cadre, cette belle régularité qui assure à notre planète un climat relativement stable tout au long de son existence (stabilité au regard de la large gamme de températures que l'on trouve dans l’Univers).

 

La gravitation joue quand même un rôle prépondérant dans les étoiles. C’est elle qui maintient confinée la matière et permet à celle ci de fusionner. Ce n’est pas rien, le confinement est une des principales difficultés que rencontrent sur Terre les scientifiques qui essayent de mettre au point des réacteurs à fusion.

 

(1) L’année tropique qui règle notre calendrier et gouverne le retour des saisons vaut 365,2422 jours soit 365 jours 5 heures 48 minutes et 46 secondes soit encore 31 556 926 secondes. Elle est légèrement plus courte que l’année sidérale (Révolution de la Terre autour du Soleil par rapport aux étoiles fixes (365,2564 jours) et que l’année anomalistique (intervalle entre deux passages au périhélie ): 365,2596 jours.

 La précession des équinoxes (liée au mouvement de toupie de l’axe de rotation de la Terre) et l’avance du périhélie (liée à la rotation du grand axe de l’ellipse de révolution) justifient les différences entres les durées de ces années.

 

Ps.  Ce genre de petit calcul est assez simple mais attention cependant à la manipulation des unités.


Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Astronomie
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Dimanche 26 octobre 2008 7 26 /10 /Oct /2008 12:24

Combien de temps brillerait le Soleil s'il fonctionnait au charbon ?

 

Bien que les étoiles constituent le cœur même de l’astronomie et que cette dernière soit l’une des sciences parmi les plus anciennes, leur fonctionnement est resté longtemps mystérieux. Jusqu’aux années 1930, il y a donc à peine 80 ans, on ignorait presque tout de ce qui le soir pique le ciel de lumières.

Ainsi, les plus grands astronomes, Galilée, Kepler, Newton et tant d’autres ont consacré leur existence aux astres sans jamais savoir ce qui faisait briller les étoiles. Einstein lui-même a passé plus de la moitié de sa vie dans l’ignorance.

 

C’est que les étoiles sont des réacteurs nucléaires. Tant que la fusion ne fut pas comprise ni même envisagée, il était impossible de décrire ce qui pouvait fournir aux astres suffisamment d’énergie pour briller. Car, rappelons-le : Si les étoiles brillent c’est parce qu’elles sont chaudes. Le mystère ne réside pas tant dans leur rayonnement que dans la cause de cette chaleur.

Ceci était compris dés le 19ème siècle et la spectroscopie, déjà, permettait de se faire une idée de leur température de surface et de s’apercevoir qu’elle était du même ordre que celle du soleil. C’était là une forte présomption pour affirmer que les étoiles n’étaient rien d’autres que de lointains soleils.

Cela, bien sûr , ne nous disait pas ce qui les chauffait. Beaucoup d’hypothèses ont été émises. En cette époque encore très marquée par la révolution industrielle, le charbon, véritable sang de la nouvelle société constitua évidemment la première source d’énergie à laquelle on songea.

 

Cependant, bien qu’il s’agisse de charbon, cette hypothèse fut vite éteinte.

Voyons pourquoi.

 

La clef de la question est celle de la durée de vie de l’astre du jour s’il devait fonctionner au charbon.

 

 

La combustion d’un kilogramme de charbon dégage une énergie de :

2,97 x 107 joules

 

On sait par ailleurs que la masse du Soleil est d’environ 1,98 x 1030 kg

(Cette masse peut être déterminée à partir de la durée de l’année, excellente idée de calcul !) Le Soleil disposerait donc s’il était entièrement constitué de charbon d’une réserve de :

 

1,98 x 10 30 kg x 2,97 x 107 j.kg-1 = 5,88 x 10 37 joules

 

Comme l’on sait que la puissance du soleil est de 3,84 x 1026 watts (voir l’article "Puissant Soleil ") il a donc une consommation (ou une émission) de 3,84 x 1026 joules par seconde.

 

Sa durée de vie exprimée en secondes est donc le ratio entre sa réserve et sa consommation par seconde soit :

 

5,88 x 1037 j / 3,84 x 1026 js-1 = 1,53 1011 secondes

 

Traduit en années cela donne (une année comporte 3,16 x 107 secondes)

 

1,53 x 1011s / 3,16 x 107 s = 4 842 ans

 

Le Soleil s’il tirait son énergie du charbon ne pourrait briller plus de 5 000 ans. Ceci contredirait toutes les études géologiques (même celles du 19ème siècle) qui attribuent à notre planète une durée de vie évidemment beaucoup plus grande.

 

D’autres arguments viennent de plus discréditer cette hypothèse.

Tout d’abord nous n’avons pas inclus dans ces calculs la nécessaire présence d’oxygène pour assurer la combustion. Cette masse d’oxygène viendrait en déduction de la masse de charbon et réduirait encore la durée de " vie " du Soleil dans ces conditions.

Ensuite la combustion du charbon ne produit pas une telle température (la surface du Soleil est à environ 5800 K). Le Soleil pourrait bien émettre autant d’énergie avec du charbon mais pas avec la même intensité (la puissance du rayonnement est proportionnelle à la puissance quatrième de la température). L’astre devrait donc pour rayonner autant avoir une surface beaucoup plus grande.

Bref le Soleil ne fonctionne pas au charbon, ni au bois (où ce bois aurait-il poussé d’ailleurs ?) Ni non plus bien entendu au pétrole ou au gaz dont les performances restent du même ordre de grandeur.

D’autres hypothèses ont été envisagées, notamment la contraction gravitationnelle, mais là aussi, le mécanisme, bien que plus efficace n’est pas en mesure d’expliquer un tel rayonnement qui dure depuis près de cinq milliards d’années.


Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Astronomie
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Samedi 18 octobre 2008 6 18 /10 /Oct /2008 18:33

Etoiles, mots et nombres : le vocabulaire malmené.

 

Une fois n’est pas coutume, parler d’astronomie nous porte à la littérature ou plus modestement au vocabulaire.

Notre science constitue l’un de ces domaines  où valsent avec bonheur les millions, les milliards ou même les milliards de milliards.
C’est que, si l’on veut pouvoir appliquer les équations de la physique dans toute leur rigueur, il convient d’utiliser les unités du Système International (SI).


Aussi évoquera-t-on la masse d’un amas de galaxies en kilogrammes, la distance qui nous sépare d’un quasar en mètres, l’âge de l’Univers en secondes et l’énergie dégagée lors de l’explosion d’une supernova en joules !
 
   Dans la plupart des cas, manier de tels nombres, que l’on devine gigantesques, ne pose guère de problème. Les scientifiques utilisent pour cela une notation en puissance de 10. Le million devient 106, le milliard 109 et 1 suivi de 16 zéros tout simplement 1016 (vous aurez reconnu ici, à 5 % près, la longueur de l’année lumière en mètres).

Pourtant, dans les ouvrages de vulgarisation, les auteurs se plaisent parfois à utiliser tous ces fascinants termes en " illions " qui caractérisent les grands nombres. C’est une tendance d’autant plus naturelle que dans presque toutes les langues, les mots sont les mêmes. Il suffit juste de changer la prononciation. Prononcez millione pour million et voilà, vous parlez anglais ! Fort pratique n’est ce pas ?  Oui, sauf qu’il y a un piège.

Ces dénominations obéissent dans le monde à deux règles différentes :  

L’une, dite échelle longue, et l’autre échelle courte (ou parfois latine).   

  • La première utilise une progression de 106 en 106 (par facteur un million donc). Elle est officiellement en usage en France (depuis 1961, recommandée depuis 1948) ainsi qu’en Allemagne. Elle était en usage au Royaume-Uni qui l’a abandonnée en 1974. Elle est la règle officielle en Italie depuis 1994 même si ce pays a longtemps préféré l’autre système et continue, dans les faits, à utiliser les deux méthodes.
  • La seconde dite échelle courte pratique une progression de 103 en 103 (de mille en mille donc). Elle est notamment utilisée aux Etats Unis et maintenant dans la plupart des pays anglophones. Attention donc, car beaucoup d’articles d’astronomie viennent d’Amérique. Cette échelle était en usage en France jusqu’aux années 1950 
     Il subsiste un certain flou sur ces questions. Dans chaque pays, les règles grammaticales officielles ne correspondent pas forcément à l’usage courant et souvent les deux échelles cohabitent générant quelques confusions.

Voici un résumé des deux systèmes.

 

Nombres              Echelle longue                    Echelle courte

                                    (France…)                           (Etats Unis…)

 

  103                                  mille                                      mille (thousand)

  106                                  million                                   million

  109                                  milliard                                  billion

  1012                                billion                                    trillion

  1015                                mille billions (billiard)           quadrillion

  1018                                trillion                                    quintillion

  1021                                mille trillions (trilliard)           sextillion

  1024                                quadrillion                             septillion

  1027                                mille quadrillions                  octillion

  1030                                quintillion                               nonillion

 

     Les derniers nombres dans les deux échelles  sont très peu utilisés.
Les termes entre parenthèses, billiards et trilliards, sont encore plus rares et ne constituent qu’une version peu usitée de l’échelle longue (variante dite continentale). En outre, leur progression est illogique, un milliard valant 109, un billiard devrait valoir 1018 et un trilliard 1027. Ce n'est pas le cas puisqu'ils s'insèrent entre les termes en "illions" et comme eux progressent donc de 106 en 106. En règle générale, les dictionnaires ne les mentionnent même pas et  leur usage est déconseillé. Seul le terme milliard est très courant en français. Notez la correspondance : le billion américain est un milliard français.

    Ces règles sont bien connues et les bons dictionnaires ne font pas d’erreur à ce sujet. Par contre la difficulté provient de ce que les articles et les livres publiés en astronomie ne précisent  pas toujours à quel système ils adhèrent.

    Les livres des plus grands auteurs n’échappent pas à ce problème, ainsi Hubert Reeves (dont je ne puis, par ailleurs, que recommander tous les ouvrages tant ceux-ci sont de petites merveilles de pédagogie et d’intelligence) utilise la conception américaine dans un livre tel que " La première seconde ". Les trillions auxquels ils fait allusion doivent être compris dans l’acceptation américaine du mot (1012 donc) bien que le texte soit en français Notons que la progression retenue en France est plus logique que celle retenue aux Etats-Unis en effet si toute les terminaisons en illions se succèdent de 103 en 103, alors la premiere occurance dite million devrait valloir 103 (c'est à dire 1000) alors qu'elle vaut 106 et ce dans les deux langues. la progression de 106 en 106 est donc plus cohérente.

L’astronomie n’est pas seule à manier ces ordres de grandeur. Les mathématiques utilisent des nombres encore (beaucoup) plus grands, par exemple dans l’analyse combinatoire. Cependant, ces nombres ne renvoient pas à des réalités matérielles. Ainsi le nombre d’atomes dans l’Univers visible reste très inférieur à 10100.

Ce nombre immense, connu des mathématiciens sous l’appellation de gogol, a quitté l’intimité de ce cercle professionnel pour passer à la postérité dans sa version anglaise :  googol. Ce mot, légèrement transformé en Google est désormais le nom d’une célèbre société et d’un tout aussi célèbre moteur de recherche.

Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Communauté astronomique
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Jeudi 16 octobre 2008 4 16 /10 /Oct /2008 10:29


      QUELLE EST LA PUISSANCE DU SOLEIL
  ?


     Déterminer la puissance du Soleil n'est pas aussi difficile que l'on pourrait l'imaginer, du moins si l'on connaît la Constante Solaire
   La Constante Solaire est la puissance du rayonnement reçue du Soleil, toutes longueurs d'onde confondues par une surface :

     -  égale à un mètre carré,

     -  perpendiculaire au rayonnement solaire,

     -  située au niveau de l'orbite terrestre,
          (soit à 149,6 millions de kilomètres du Soleil)

     -  placée hors atmosphère (pour éviter les effets de l'absorption).

  
        Cette constante est évaluée à environ 1 366 w (voir  notes 1 et 2).

       A une distance donnée du Soleil l’ensemble du rayonnement se trouve réparti sur une sphère de rayon égal à cette distance. On peut donc déterminer la puissance totale de l’astre du jour en multipliant, la constante solaire par la surface d’une sphère qui aurait justement pour rayon la distance moyenne de la Terre au Soleil soit une Unité Astronomique (UA).

 

       Calculons d’abord la surface de cette sphère

  

L’Unité Astronomique vaut 149 597 870 km soit 1,496 x 1011 mètres.

 

R étant le rayon d’une sphère sa surface est égale à : (4 Pi / 3) x R2

 

Soit pour R = 1 Unité Astronomique : 4 x 3,142 x (1,496 x 1011) 2 m2

 

Soit : Surface de la sphère = 12,457 x 2,238 x 1022 m 2
                             =  2,812 x 1023 m 2

 

      Déterminons maintenant la puissance du soleil en multipliant cette surface par la constante solaire :

 

Puissance du soleil = 2,812 x 1023 x 1 366 w =  3,84 x 1026 w

 

     C’est là une puissance sans commune mesure avec celles rencontrées dans le cadre des activités humaines.
      A titre de comparaison, cela représente:
             -   400 000 milliards de milliards de kilowatts. 

             -   400 millions de milliards de réacteurs nucléaires.
                 (d'une puissance électrique moyenne de 1000 MW)

     Cette puissance résulte des réactions de fusion nucléaire.

      Chaque seconde environ 600 millions de tonnes de noyaux d’hydrogène (c'est à dire des protons) se transforment en 596 millions de tonnes de noyaux d’hélium (ou particules alpha)  après un enchaînement de différentes réactions nucléaires (voir note 3). In fine, un peu plus quatre millions de tonnes de matière (4,27 dans ce calcul) sont ainsi converties en pure énergie selon la célèbre équation :

 

E = mc2  (E en joules, m en kilogrammes, c en mètres par seconde)

 

         En effet :

 

        4,27 millions de tonnes  =  4,27 x 109 kg

 

        La vitesse de la lumière : c   =  299 792 458 ms-1
                                     donc :  c2  =  8,988 x 1016 m2s-2

 

         Nous avons bien : 3,84 x 1026  =  4,27 x 109 x 8,99 x 1016


Combien d'énergie  la Terre recoit-elle?

 

      Quelle fraction de ce flux ininterrompu depuis plus de quatre milliards et demi d’années notre planète peut-elle intercepter  ? (note 4)

 

     Là aussi, c’est assez simple, la Terre offre un disque de 6 371 km de rayon (noté ici r ) soit  6,371 x 106 m. 
      La surface d’un disque étant égale à Pi x r2.

 

      La terre intercepte le flux solaire sur une surface de :

 

3,1416 x (6,371 x 106) 2 = 1,275 x 1014 m2

 

     En divisant cette surface par celle de la sphère précédemment calculée nous obtenons la fraction du rayonnement solaire intercepté par la Terre.

 

1,275 x 1014 m2 / 2,812 x 1023 m 2 = 4, 535 x 10–10

 

   Cela représente un demi milliardième. La terre n’intercepte que la moitié d’un milliardième du rayonnement solaire !

 

     Toutes les énergies qu’utilisent les hommes à l’exception de l’énergie nucléaire, de la géothermie et de l’énergie des marées proviennent de ce demi-milliardième.

     L’énergie solaire, bien sûr, mais aussi le vent, l’énergie hydraulique (on récupère l’énergie potentielle de l’eau dont le Soleil a provoqué l’évaporation) et tous les hydrocarbures : pétrole, gaz et charbon, ces matières ayant, via la photosynthèse, capté l’énergie solaire puis après décomposition l’ayant stockée pour des millions d’années.

    Et bien entendu, n'oublions pas le principal, c’est encore cette infime fraction de rayonnement qui nous réchauffe, fait vivre les arbres, les fleurs et tout ce qui est joli sur la Terre.

_____________________________________________________________________________________________

 Notes

  1. Les évaluations de la constante solaire varient de 1360 à 1370 watts. Remarquons que compte tenu de la courbure de la Terre et de l’alternance nuit jour, la puissance effectivement reçue par un mètre carré au sol (absorption atmosphérique non déduite) vaut le quart de cette valeur soit : 340 watts environ.
  2. Cette valeur de 1366 w constitue donc en pleine journée et pour un panneau dirigé perpendiculairement au rayonnement la limite supérieure de ce qu’on peut recevoir du soleil. La quantité d’énergie captée dépend du temps d’exposition par exemple 1366 joules pour une seconde d’exposition ou 1 366 watt.heures pour une heure (soit 1,366 kilowatt.heure). Ceci dans les conditions optimales (rappel : l’énergie est une puissance multipliée par un temps de production ou de consommation). C’est cette valeur qui constitue le seuil maximum lorsque l’on envisage le recours à l’énergie solaire.
  3. Les noyaux d'hydrogène sont de simples protons car nous nous trouvons dans un plasma où les noyaux se trouvent  séparés de leurs électrons. Les noyaux d'hélium (2 protons + 2 neutrons) sont aussi appelées particules Alpha.
  4. Pour être tout à fait précis, la puissance du Soleil a tendance à augmenter avec le temps et l'on estime qu'il a quatre milliards d'années son rayonnement ne représentait qu'entre 70 et 80 % de celui d'aujourd'hui.  
Par Didier BARTHES - Publié dans : Un peu de calcul - Communauté : Communauté astronomique
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